线性代数示例

$[\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}]$

解题步骤 1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{4})$

解题步骤 2

大小为 $4$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $4 \times 4$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{4})$ 。

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解题步骤 3.1

代入 $[\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] - λ I_{4})$

解题步骤 3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{4}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.5

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.5.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.5.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.7.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.8.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.9

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.9.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.9.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.10

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.10.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.10.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.11

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.12

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.12.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.12.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.13

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.13.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.13.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.14

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.14.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.14.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.15

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.15.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

解题步骤 4.1.2.15.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

解题步骤 4.1.2.16

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

解题步骤 4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & 1194 + 0 & 2865 + 0 & 1485 + 0 \\ 0 + 0 & 2197 - λ & 2037 + 0 & 2023 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 4913 - λ & 798 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 125 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.3.1

将 $1194$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & 1194 & 2865 + 0 & 1485 + 0 \\ 0 + 0 & 2197 - λ & 2037 + 0 & 2023 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 4913 - λ & 798 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 125 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

将 $2865$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & 1194 & 2865 & 1485 + 0 \\ 0 + 0 & 2197 - λ & 2037 + 0 & 2023 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 4913 - λ & 798 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 125 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

将 $1485$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 + 0 & 2197 - λ & 2037 + 0 & 2023 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 4913 - λ & 798 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 125 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 - λ & 2037 + 0 & 2023 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 4913 - λ & 798 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 125 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

将 $2037$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 - λ & 2037 & 2023 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 4913 - λ & 798 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 125 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.6

将 $2023$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 4913 - λ & 798 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 125 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.7

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 + 0 & 4913 - λ & 798 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 125 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.8

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 - λ & 798 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 125 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.9

将 $798$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 - λ & 798 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 125 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.10

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 - λ & 798 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 125 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.11

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 - λ & 798 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 125 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.12

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 4913 - λ & 798 \\ 0 & 0 & 0 & 125 - λ \end{array}]$

解题步骤 5

Find the determinant.

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解题步骤 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 4913 - λ & 798 \\ 0 & 0 & 125 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(8 - λ) | \begin{array}{c} 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 4913 - λ & 798 \\ 0 & 0 & 125 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 4913 - λ & 798 \\ 0 & 0 & 125 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 4913 - λ & 798 \\ 0 & 0 & 125 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1194 & 2865 & 1485 \\ 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 125 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1194 & 2865 & 1485 \\ 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 125 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.9

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1194 & 2865 & 1485 \\ 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 4913 - λ & 798 \end{array} |$

解题步骤 5.1.10

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1194 & 2865 & 1485 \\ 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 4913 - λ & 798 \end{array} |$

解题步骤 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (8 - λ) | \begin{array}{c} 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 4913 - λ & 798 \\ 0 & 0 & 125 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 4913 - λ & 798 \\ 0 & 0 & 125 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1194 & 2865 & 1485 \\ 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 125 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1194 & 2865 & 1485 \\ 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 4913 - λ & 798 \end{array} |$

解题步骤 5.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 1194 & 2865 & 1485 \\ 0 & 4913 - λ & 798 \\ 0 & 0 & 125 - λ \end{array} |$ 。

$p (λ) = (8 - λ) | \begin{array}{c} 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 4913 - λ & 798 \\ 0 & 0 & 125 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1194 & 2865 & 1485 \\ 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 125 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1194 & 2865 & 1485 \\ 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 4913 - λ & 798 \end{array} |$

解题步骤 5.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 1194 & 2865 & 1485 \\ 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 0 & 125 - λ \end{array} |$ 。

$p (λ) = (8 - λ) | \begin{array}{c} 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 4913 - λ & 798 \\ 0 & 0 & 125 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1194 & 2865 & 1485 \\ 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 4913 - λ & 798 \end{array} |$

解题步骤 5.4

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 1194 & 2865 & 1485 \\ 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 4913 - λ & 798 \end{array} |$ 。

$p (λ) = (8 - λ) | \begin{array}{c} 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 4913 - λ & 798 \\ 0 & 0 & 125 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5

计算 $| \begin{array}{c} 2197 - λ & 2037 & 2023 \\ 0 & 4913 - λ & 798 \\ 0 & 0 & 125 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4913 - λ & 798 \\ 0 & 125 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2197 - λ) | \begin{array}{c} 4913 - λ & 798 \\ 0 & 125 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2037 & 2023 \\ 0 & 125 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2037 & 2023 \\ 0 & 125 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2037 & 2023 \\ 4913 - λ & 798 \end{array} |$

解题步骤 5.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2037 & 2023 \\ 4913 - λ & 798 \end{array} |$

解题步骤 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) | \begin{array}{c} 4913 - λ & 798 \\ 0 & 125 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2037 & 2023 \\ 0 & 125 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2037 & 2023 \\ 4913 - λ & 798 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 2037 & 2023 \\ 0 & 125 - λ \end{array} |$ 。

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) | \begin{array}{c} 4913 - λ & 798 \\ 0 & 125 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 2037 & 2023 \\ 4913 - λ & 798 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 2037 & 2023 \\ 4913 - λ & 798 \end{array} |$ 。

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) | \begin{array}{c} 4913 - λ & 798 \\ 0 & 125 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.4

计算 $| \begin{array}{c} 4913 - λ & 798 \\ 0 & 125 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.5.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) ((4913 - λ) (125 - λ) + 0 \cdot 798) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 5.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.4.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(4913 - λ) (125 - λ)$ 。

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解题步骤 5.5.4.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) (4913 (125 - λ) - λ (125 - λ) + 0 \cdot 798) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.4.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) (4913 \cdot 125 + 4913 (- λ) - λ (125 - λ) + 0 \cdot 798) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.4.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) (4913 \cdot 125 + 4913 (- λ) - λ \cdot 125 - λ (- λ) + 0 \cdot 798) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.4.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.5.4.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.4.2.1.2.1.1

将 $4913$ 乘以 $125$ 。

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) (614125 + 4913 (- λ) - λ \cdot 125 - λ (- λ) + 0 \cdot 798) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.4.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4913$ 。

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) (614125 - 4913 λ - λ \cdot 125 - λ (- λ) + 0 \cdot 798) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.4.2.1.2.1.3

将 $125$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) (614125 - 4913 λ - 125 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 798) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.4.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) (614125 - 4913 λ - 125 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 798) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.4.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.5.4.2.1.2.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) (614125 - 4913 λ - 125 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 798) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.4.2.1.2.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) (614125 - 4913 λ - 125 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 798) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.4.2.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) (614125 - 4913 λ - 125 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 798) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.4.2.1.2.1.7

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) (614125 - 4913 λ - 125 λ + λ^{2} + 0 \cdot 798) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.4.2.1.2.2

从 $- 4913 λ$ 中减去 $125 λ$ 。

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) (614125 - 5038 λ + λ^{2} + 0 \cdot 798) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.4.2.1.3

将 $0$ 乘以 $798$ 。

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) (614125 - 5038 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.4.2.2

将 $614125 - 5038 λ + λ^{2}$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) (614125 - 5038 λ + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.4.2.3

移动 $614125$ 。

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) (- 5038 λ + λ^{2} + 614125) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.4.2.4

将 $- 5038 λ$ 和 $λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) (λ^{2} - 5038 λ + 614125) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.5

化简行列式。

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解题步骤 5.5.5.1

合并 $(2197 - λ) (λ^{2} - 5038 λ + 614125) + 0 + 0$ 中相反的项。

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解题步骤 5.5.5.1.1

将 $(2197 - λ) (λ^{2} - 5038 λ + 614125)$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) (λ^{2} - 5038 λ + 614125) + 0) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.5.1.2

将 $(2197 - λ) (λ^{2} - 5038 λ + 614125)$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (8 - λ) ((2197 - λ) (λ^{2} - 5038 λ + 614125)) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.5.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2197 - λ) (λ^{2} - 5038 λ + 614125)$ 。

$p (λ) = (8 - λ) (2197 λ^{2} + 2197 (- 5038 λ) + 2197 \cdot 614125 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5038 λ) - λ \cdot 614125) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.5.3

化简每一项。

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解题步骤 5.5.5.3.1

将 $- 5038$ 乘以 $2197$ 。

$p (λ) = (8 - λ) (2197 λ^{2} - 11068486 λ + 2197 \cdot 614125 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5038 λ) - λ \cdot 614125) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.5.3.2

将 $2197$ 乘以 $614125$ 。

$p (λ) = (8 - λ) (2197 λ^{2} - 11068486 λ + 1349232625 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5038 λ) - λ \cdot 614125) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.5.3.3

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.5.3.3.1

移动 $λ^{2}$ 。

$p (λ) = (8 - λ) (2197 λ^{2} - 11068486 λ + 1349232625 - (λ^{2} λ) - λ (- 5038 λ) - λ \cdot 614125) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.5.3.3.2

将 $λ^{2}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.5.5.3.3.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = (8 - λ) (2197 λ^{2} - 11068486 λ + 1349232625 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 5038 λ) - λ \cdot 614125) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.5.3.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = (8 - λ) (2197 λ^{2} - 11068486 λ + 1349232625 - λ^{2 + 1} - λ (- 5038 λ) - λ \cdot 614125) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.5.3.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = (8 - λ) (2197 λ^{2} - 11068486 λ + 1349232625 - λ^{3} - λ (- 5038 λ) - λ \cdot 614125) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.5.3.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = (8 - λ) (2197 λ^{2} - 11068486 λ + 1349232625 - λ^{3} - 1 \cdot - 5038 λ \cdot λ - λ \cdot 614125) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.5.3.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.5.5.3.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = (8 - λ) (2197 λ^{2} - 11068486 λ + 1349232625 - λ^{3} - 1 \cdot - 5038 (λ \cdot λ) - λ \cdot 614125) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.5.3.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = (8 - λ) (2197 λ^{2} - 11068486 λ + 1349232625 - λ^{3} - 1 \cdot - 5038 λ^{2} - λ \cdot 614125) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.5.3.6

将 $- 1$ 乘以 $- 5038$ 。

$p (λ) = (8 - λ) (2197 λ^{2} - 11068486 λ + 1349232625 - λ^{3} + 5038 λ^{2} - λ \cdot 614125) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.5.3.7

将 $614125$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = (8 - λ) (2197 λ^{2} - 11068486 λ + 1349232625 - λ^{3} + 5038 λ^{2} - 614125 λ) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.5.4

将 $2197 λ^{2}$ 和 $5038 λ^{2}$ 相加。

$p (λ) = (8 - λ) (7235 λ^{2} - 11068486 λ + 1349232625 - λ^{3} - 614125 λ) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.5.5

从 $- 11068486 λ$ 中减去 $614125 λ$ 。

$p (λ) = (8 - λ) (7235 λ^{2} - 11682611 λ + 1349232625 - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.5.6

移动 $1349232625$ 。

$p (λ) = (8 - λ) (7235 λ^{2} - 11682611 λ - λ^{3} + 1349232625) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.5.7

移动 $- 11682611 λ$ 。

$p (λ) = (8 - λ) (7235 λ^{2} - λ^{3} - 11682611 λ + 1349232625) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.5.5.8

将 $7235 λ^{2}$ 和 $- λ^{3}$ 重新排序。

$p (λ) = (8 - λ) (- λ^{3} + 7235 λ^{2} - 11682611 λ + 1349232625) + 0 + 0 + 0$

解题步骤 5.6

化简行列式。

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解题步骤 5.6.1

合并 $(8 - λ) (- λ^{3} + 7235 λ^{2} - 11682611 λ + 1349232625) + 0 + 0 + 0$ 中相反的项。

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解题步骤 5.6.1.1

将 $(8 - λ) (- λ^{3} + 7235 λ^{2} - 11682611 λ + 1349232625)$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (8 - λ) (- λ^{3} + 7235 λ^{2} - 11682611 λ + 1349232625) + 0 + 0$

解题步骤 5.6.1.2

将 $(8 - λ) (- λ^{3} + 7235 λ^{2} - 11682611 λ + 1349232625)$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (8 - λ) (- λ^{3} + 7235 λ^{2} - 11682611 λ + 1349232625) + 0$

解题步骤 5.6.1.3

将 $(8 - λ) (- λ^{3} + 7235 λ^{2} - 11682611 λ + 1349232625)$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (8 - λ) (- λ^{3} + 7235 λ^{2} - 11682611 λ + 1349232625)$

解题步骤 5.6.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(8 - λ) (- λ^{3} + 7235 λ^{2} - 11682611 λ + 1349232625)$ 。

$p (λ) = 8 (- λ^{3}) + 8 (7235 λ^{2}) + 8 (- 11682611 λ) + 8 \cdot 1349232625 - λ (- λ^{3}) - λ (7235 λ^{2}) - λ (- 11682611 λ) - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3

化简每一项。

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解题步骤 5.6.3.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 8 (7235 λ^{2}) + 8 (- 11682611 λ) + 8 \cdot 1349232625 - λ (- λ^{3}) - λ (7235 λ^{2}) - λ (- 11682611 λ) - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3.2

将 $7235$ 乘以 $8$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 57880 λ^{2} + 8 (- 11682611 λ) + 8 \cdot 1349232625 - λ (- λ^{3}) - λ (7235 λ^{2}) - λ (- 11682611 λ) - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3.3

将 $- 11682611$ 乘以 $8$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 57880 λ^{2} - 93460888 λ + 8 \cdot 1349232625 - λ (- λ^{3}) - λ (7235 λ^{2}) - λ (- 11682611 λ) - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3.4

将 $8$ 乘以 $1349232625$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 57880 λ^{2} - 93460888 λ + 10793861000 - λ (- λ^{3}) - λ (7235 λ^{2}) - λ (- 11682611 λ) - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3.5

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 57880 λ^{2} - 93460888 λ + 10793861000 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (7235 λ^{2}) - λ (- 11682611 λ) - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3.6

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{3}$ 。

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解题步骤 5.6.3.6.1

移动 $λ^{3}$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 57880 λ^{2} - 93460888 λ + 10793861000 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (7235 λ^{2}) - λ (- 11682611 λ) - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3.6.2

将 $λ^{3}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.6.3.6.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 57880 λ^{2} - 93460888 λ + 10793861000 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (7235 λ^{2}) - λ (- 11682611 λ) - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 57880 λ^{2} - 93460888 λ + 10793861000 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (7235 λ^{2}) - λ (- 11682611 λ) - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3.6.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 57880 λ^{2} - 93460888 λ + 10793861000 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (7235 λ^{2}) - λ (- 11682611 λ) - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 57880 λ^{2} - 93460888 λ + 10793861000 + 1 λ^{4} - λ (7235 λ^{2}) - λ (- 11682611 λ) - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3.8

将 $λ^{4}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 57880 λ^{2} - 93460888 λ + 10793861000 + λ^{4} - λ (7235 λ^{2}) - λ (- 11682611 λ) - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3.9

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 57880 λ^{2} - 93460888 λ + 10793861000 + λ^{4} - 1 \cdot 7235 λ \cdot λ^{2} - λ (- 11682611 λ) - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3.10

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{2}$ 。

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解题步骤 5.6.3.10.1

移动 $λ^{2}$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 57880 λ^{2} - 93460888 λ + 10793861000 + λ^{4} - 1 \cdot 7235 (λ^{2} λ) - λ (- 11682611 λ) - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3.10.2

将 $λ^{2}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.6.3.10.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 57880 λ^{2} - 93460888 λ + 10793861000 + λ^{4} - 1 \cdot 7235 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 11682611 λ) - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 57880 λ^{2} - 93460888 λ + 10793861000 + λ^{4} - 1 \cdot 7235 λ^{2 + 1} - λ (- 11682611 λ) - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3.10.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 57880 λ^{2} - 93460888 λ + 10793861000 + λ^{4} - 1 \cdot 7235 λ^{3} - λ (- 11682611 λ) - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3.11

将 $- 1$ 乘以 $7235$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 57880 λ^{2} - 93460888 λ + 10793861000 + λ^{4} - 7235 λ^{3} - λ (- 11682611 λ) - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3.12

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 57880 λ^{2} - 93460888 λ + 10793861000 + λ^{4} - 7235 λ^{3} - 1 \cdot - 11682611 λ \cdot λ - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3.13

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.6.3.13.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 57880 λ^{2} - 93460888 λ + 10793861000 + λ^{4} - 7235 λ^{3} - 1 \cdot - 11682611 (λ \cdot λ) - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3.13.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 57880 λ^{2} - 93460888 λ + 10793861000 + λ^{4} - 7235 λ^{3} - 1 \cdot - 11682611 λ^{2} - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3.14

将 $- 1$ 乘以 $- 11682611$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 57880 λ^{2} - 93460888 λ + 10793861000 + λ^{4} - 7235 λ^{3} + 11682611 λ^{2} - λ \cdot 1349232625$

解题步骤 5.6.3.15

将 $1349232625$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 57880 λ^{2} - 93460888 λ + 10793861000 + λ^{4} - 7235 λ^{3} + 11682611 λ^{2} - 1349232625 λ$

解题步骤 5.6.4

从 $- 8 λ^{3}$ 中减去 $7235 λ^{3}$ 。

$p (λ) = - 7243 λ^{3} + 57880 λ^{2} - 93460888 λ + 10793861000 + λ^{4} + 11682611 λ^{2} - 1349232625 λ$

解题步骤 5.6.5

将 $57880 λ^{2}$ 和 $11682611 λ^{2}$ 相加。

$p (λ) = - 7243 λ^{3} + 11740491 λ^{2} - 93460888 λ + 10793861000 + λ^{4} - 1349232625 λ$

解题步骤 5.6.6

从 $- 93460888 λ$ 中减去 $1349232625 λ$ 。

$p (λ) = - 7243 λ^{3} + 11740491 λ^{2} - 1442693513 λ + 10793861000 + λ^{4}$

解题步骤 5.6.7

移动 $10793861000$ 。

$p (λ) = - 7243 λ^{3} + 11740491 λ^{2} - 1442693513 λ + λ^{4} + 10793861000$

解题步骤 5.6.8

移动 $- 1442693513 λ$ 。

$p (λ) = - 7243 λ^{3} + 11740491 λ^{2} + λ^{4} - 1442693513 λ + 10793861000$

解题步骤 5.6.9

移动 $11740491 λ^{2}$ 。

$p (λ) = - 7243 λ^{3} + λ^{4} + 11740491 λ^{2} - 1442693513 λ + 10793861000$

解题步骤 5.6.10

将 $- 7243 λ^{3}$ 和 $λ^{4}$ 重新排序。

$p (λ) = λ^{4} - 7243 λ^{3} + 11740491 λ^{2} - 1442693513 λ + 10793861000$

解题步骤 6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$λ^{4} - 7243 λ^{3} + 11740491 λ^{2} - 1442693513 λ + 10793861000 = 0$

解题步骤 7

求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.1

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$λ = 8$

线性代数 示例

线性代数示例